Permutasi dan Kombinasi

PERMUTASI. Definisi : Suatu urutan dari k objek yang diambil dari n objek yang berbeda,  disebut dengan permutasi n objek setiap kali diambil k objek dengan k < n. Permutasi kadang dinotasikan dengan P (n,k) atau  atau  atau nPk (dibaca permutasi k objek dari n objek).

Permutasi Melingkar

Definisi

Suatu urutan objek yang membentuk sebuah lingkaran disebut permutasi melingkar (keliling atau siklis).

Permutasi Siklis

Definisi: Permutasi siklis dari n objek adalah (n-1)! cara.

Contoh soal :

1. Hitunglah P (5, 2)

    Jawab:

    P (5, 2) = 5!/(5-2)!

                 = 5!/3!

                 = 5 x 4 x 3!/3!

                 = 20

2. Banyaknya bilangan yang terdiri atas 2 angka yang berbeda yang dapat disusun dari angka-angka 3, 5, dan 7?

Jawab:

Banyaknya bilangan yang terdiri atas 2 angka berbeda dan disusun dari angka-angka 3, 5, dan 7 adalah sama dengan permutasi yang terdiri atas dua unsur yang dipilih dari 3 unsur, P (3, 2)

P (3, 2) = 3!/(3-2)!

             = 3!/1!

             = 3 x 2 x 1!/1!

             = 2 x 3

             = 6

3. Tentukan banyaknya bilangan yang terdiri dari 6 angka yang disusun dari 2 buah angka 1, 3 buah angka 2, dan 1 buah angka 3!

Jawab:

Banyaknya bilangan yang terdiri atas 6 angka yang disusun dari 2 buah angka 1, 3 buah angka 2, dan 1 buah angka 3 adalah:

6!/2! 3! 1! = 60 bilangan

4. Empat orang siswa masuk perpustakaan sekolah. Mereka membaca di meja bundar. Berapa banyak cara agar keempat siswa dapat duduk melingkar dengan urutan yang berbeda?

Jawab:

Banyaknya cara posisi duduk 4 orang yang menghadap meja bundar adalah:

(4-1)! = 3! = 6 cara

5. Sebuah keluarga terdiri atas 5 orang. Mereka akan duduk mengelilingi sebuah meja bundar untuk makan bersama. Berapa banyaknya cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan tersebut dengan urutan yang berbeda?
Jawaban :
Banyaknya cara agar 5 orang dapat duduk mengelilingi meja makan sama dengan banyak permutasi siklis 5 elemen, yaitu :
(5 -1)! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

Kombinasi

Kombinasi k unsur dari n unsur dilambangkan oleh C (n, k) dan

C (n, k) = n!/(n-k)!k!, dalam hal ini k < atau = n.

Contoh soal:

1. Hitunglah C (5, 2)

    Jawab:

    C (5, 2) = 5!/(5-2)!2!

                 = 5!/3! 2!

                 = 5 x 4 x 3!/3! 2!

                 = 5 x 4/2 x 1

                 = 20/2

                 = 10

2. Dari 3 siswa, yaitu Budi, Rendi, dan Rema akan dibentuk pasangan ganda bulu tangkis. Berapa pasangan ganda yang dapat dibentuk dari ketiga siswa tersebut?

Jawab:

Banyaknya pasangan ganda bulu tangkis yang dapat dibentuk adalah C(3, 2)

C (3, 2) = 3!/(3-2)! 2!

             = 3!/1! 2!

             = 3 x 2!/1! 2!

             = 3/1

             = 3

3. Dalam babak penyisihan suatu turnamen, 25 pecatur satu sama lain bertanding satu kali. Banyaknya pertandingan yang terjadi adalah...

Jawab:

Dalam babak penyisihan, 25 pecatur satu sama lain bertanding satu kali. Untuk menentukan banyaknya pertandingan yang terjadi digunakan kombinasi, karena tidak melihat urutannya lagi.

C (25, 2) = 25!/(25-2)! 2!

               = 25!/23! 2!

               = 25 x 24 x 23!/23! 2!

               = 25 x 24/ 2 x 1

               = 600/2

               = 300

4.  Sebuah panitia terdiri atas Ketua, Wakil Ketua, Sekretaris, dan Bendahara. Berapa banyak susunan panitia yang dapat dibentuk dari 9 orang?

Jawab :

(9,4) = 9! / 4! (9-4)! = 9! / 4!5! = 126 cara

5. Untuk pemilihan 4 mahasiswa menjadi pengurus himpunan mahasiswa jurusan matematika FMIPA UNM terdapat 8 mahasiswa prodi pendidikan matematika dan 6 mahasiswa prodi matematika yang memenuhi syarat untuk dipilih. Berapa banyak cara memilih pengurus bila :

a. Semua anggota pengurus dari prodi pendidikan matematika

jawab :

Banyak mahasiswa prodi pendidikan matematika yang memenuhi adalah 8 orang. Bila semua anggota pengurus dari prodi pendidikan matematika maka banyak cara memilih adalah

C (8,4)   = 8! / 4! (8-4)!

                = 8! / 4!4! = 8x7x26x5x4!/ 4x3x2x1x4! = 70 cara.